Что такое ранг матрицы
Ранг — это число линейно независимых строк матрицы (столько же линейно независимых и среди столбцов — это одно и то же число). Проще говоря, ранг показывает, сколько «полезной», не выражающейся друг через друга информации несут строки матрицы. У матрицы размера m×n ранг не может быть больше min(m, n).
Как считают: приведение к ступенчатому виду
Матрицу элементарными преобразованиями строк — перестановкой, вычитанием одной строки из другой с множителем — приводят к ступенчатому виду, где каждая следующая строка начинается правее предыдущей. Ранг равен числу ненулевых строк в результате: нулевая строка означает, что она была линейной комбинацией остальных и не добавляла независимой информации.
Пример: матрица 3×4 с зависимой строкой
A = [[1, 2, 0, −1], [2, −1, 3, 1], [3, 1, 3, 0]]
Видно, что третья строка — это сумма первой и второй: (1+2, 2−1, 0+3, −1+1) = (3, 1, 3, 0).
После вычитания из второй строки первой с множителем 2 и из третьей — первой с множителем 3 третья строка совпадает со второй.
Вычитание второй строки из третьей даёт нулевую строку — она лишняя.
Осталось 2 ненулевые строки, значит ранг матрицы A равен 2.
Такая зависимость строк часто встречается в системах уравнений: если одно уравнение — следствие двух других, ранг матрицы коэффициентов меньше числа уравнений. Проверить, к чему это приводит для конкретной системы, можно в калькуляторе метода Гаусса — там же видно, есть ли у системы решение и сколько их.