Что такое определитель
Определитель (детерминант) — число, которое ставят в соответствие квадратной матрице. Он показывает, вырождена ли матрица (определитель равен нулю) или нет, и используется в формулах обратной матрицы, методе Крамера и при проверке линейной независимости строк. Определитель есть только у квадратных матриц — n×n.
Как считать: 2×2 и 3×3
Для 2×2 определитель — это ad − bc. Для 3×3 есть короткое правило Саррюса (треугольников):
справа дописывают первые два столбца, складывают произведения по трём диагоналям «сверху вниз» и вычитают
произведения по трём диагоналям «снизу вверх». Для матриц большего размера удобнее метод Гаусса:
элементарными преобразованиями строк матрицу приводят к треугольному виду, а определитель — произведение чисел
на главной диагонали (со знаком «минус», если строки переставляли нечётное число раз).
Пример: определитель 3×3 по Саррюсу
Матрица A = [[3, 2, −1], [1, −1, 2], [2, 1, 3]]
Сумма «плюс»: 3 · (−1) · 3 + 2 · 2 · 2 + (−1) · 1 · 1 = −9 + 8 − 1 = −2.
Сумма «минус»: (−1) · (−1) · 2 + 3 · 2 · 1 + 2 · 1 · 3 = 2 + 6 + 6 = 14.
det A = −2 − 14 = −16.
Калькулятор выше сразу считает оба способа — Саррюса и Гаусса — и показывает промежуточные строки, как в тетради. Найденный определитель пригодится и для обратной матрицы, и для метода Крамера.