Формулы Крамера
Метод применим только к квадратным системам (число уравнений равно числу неизвестных) и только если главный определитель матрицы коэффициентов Δ не равен нулю. Тогда каждая неизвестная находится по формуле xi = Δi / Δ, где Δi — определитель, в котором i-й столбец матрицы коэффициентов заменён столбцом свободных членов.
Пример: система 3×3
x + 2y − z = 4; 3x − y + 2z = 7; 2x + y + z = 5
Главный определитель: Δ = −6.
Δ₁ (столбец 1 заменён на 4, 7, 5): Δ₁ = −18, x = −18 / −6 = 3.
Δ₂ (столбец 2 заменён): Δ₂ = 0, y = 0 / −6 = 0.
Δ₃ (столбец 3 заменён): Δ₃ = 6, z = 6 / −6 = −1.
Ответ: x = 3, y = 0, z = −1.
То, что y получился равным нулю, — не ошибка: такое бывает, когда переменная не входит в решение при этих конкретных свободных членах. Тот же ответ можно проверить методом Гаусса или подстановкой в исходные уравнения. Если у системы не три, а больше уравнений, калькулятор считает столько же определителей Δi, сколько неизвестных, — вручную это уже неудобно.