Как устроено квадратное уравнение
Квадратное уравнение — это уравнение вида ax² + bx + c = 0, где a, b, c — заданные числа (коэффициенты), а a ≠ 0 (иначе x² пропадёт и уравнение станет линейным). Коэффициенты могут быть любыми — целыми, дробными, отрицательными. Решить уравнение — значит найти все x, при которых равенство верно.
Формула корней через дискриминант
Сначала находят дискриминант: D = b² − 4ac. Он показывает, сколько у уравнения действительных корней:
| Дискриминант | Корней | Формула |
|---|---|---|
| D > 0 | два разных | x = (−b ± √D) / (2a) |
| D = 0 | один (два совпадающих) | x = −b / (2a) |
| D < 0 | нет действительных | √D не существует |
Пример с полным решением
Решить уравнение 2x² − 3x − 2 = 0
D = (−3)² − 4·2·(−2) = 9 + 16 = 25. Корень из 25 — целое число, √25 = 5. Значит, x₁ = (3 + 5) / 4 = 2, x₂ = (3 − 5) / 4 = −0,5. Проверка по Виете: x₁ + x₂ = 1,5 = −b/a = 3/2, x₁ · x₂ = −1 = c/a = −2/2 — сходится.
Если дискриминант не извлекается нацело
Когда D не является точным квадратом, корень из него упрощают: раскладывают D на множители и выносят из-под корня всё, что образует квадрат. Например, √72 = √(36 · 2) = 6√2. Так корни уравнения x² − 6x + 3 = 0 (D = 24 = 4·6) записывают точно: x = (6 ± 2√6) / 2 = 3 ± √6, а не только приближённо x ≈ 5,45 и x ≈ 0,55.
Неполные уравнения — короткий путь
Если c = 0, уравнение решают вынесением x за скобки, без дискриминанта: ax² + bx = 0 → x(ax + b) = 0 → x₁ = 0, x₂ = −b/a. Если b = 0, уравнение сводится к x² = −c/a. Калькулятор определяет такие случаи автоматически и показывает именно короткое решение, а не громоздкую формулу через D.
Для отдельной проверки самого дискриминанта — знака и точного значения — удобен калькулятор дискриминанта. Действия с дробными коэффициентами разбирает калькулятор дробей.