Суть метода Гаусса
Систему уравнений записывают расширенной матрицей: коэффициенты при неизвестных и столбец свободных членов. Прямым ходом элементарными преобразованиями строк (перестановка, вычитание одной строки из другой с множителем) матрицу приводят к треугольному (ступенчатому) виду — в каждой следующей строке коэффициентов при переменных меньше. Обратным ходом, снизу вверх, находят сначала последнюю переменную, потом подставляют её в предыдущее уравнение и так далее.
Три исхода
Система может иметь одно решение (ранг матрицы коэффициентов равен числу переменных), ни одного (в ступенчатом виде появляется строка вида 0 = число, не равное нулю — противоречие) или бесконечно много (переменных больше, чем независимых уравнений, — часть переменных остаётся свободной).
Пример: система из трёх уравнений
2x + y − z = 1; x + y + z = 6; 3x − y + 2z = 7
Прямой ход: вычитаем из второй строки первую с множителем 1/2, из третьей — первую с множителем 3/2.
Получаем 0,5y + 1,5z = 5,5 и −2,5y + 3,5z = 5,5.
Вычитаем из третьей строки вторую с множителем −5: остаётся 11z = 33, откуда z = 3.
Обратный ход: 0,5y + 1,5 · 3 = 5,5 → y = 2; 2x + 2 − 3 = 1 → x = 1.
Ответ: x = 1, y = 2, z = 3.
Для квадратных систем с определителем, не равным нулю, тот же ответ можно получить по формулам метода Крамера — калькулятор выше считает оба способа отдельными режимами.